Koppel (Mathematik)

Vun Wikipedia
Zur Navigation springen Zur Suche springen

De Koppel is een vun de wichtigste Konzepte vun de Mathematik. De Koppenkünn faat enkelte Liddmaten (Elementen) to 'n Koppel tosamen. De Elementen köönt t.B. Tallen, Lüüd, Bookstaven etc. ween. En Koppel kann ok leddig ween (leddige Koppel).

De Mathematikers hebbt de Koppelkünn to't Enn vun dat 19. Johrhunnert utklamüüstert, un de warrt in de Mathematik nu so veel bruukt, dat se al op de Grundschool ünnerricht warrt. Se is sotoseggen, de Spraak in de de moderne Mathematik verkloort warrt.

Definition[ännern | Bornkood ännern]

Georg Cantor häff de Koppelkunn populariseert un folgen Definition vörschlån:

Unner een Koppel vörstait sik een Tohaupefatten van bestemte wuolunnerschaidene Objekte van us Anschauen oer Denken to een Heel.

Richard Dedekind hett de Koppel so verkloort: De Koppel is so as 'n Sack, wo welke Saken (de Elementen vun de Koppel) binnen sünd. Dit Bild helpt to verstahn, wat 'n leddige Koppel is: dat is nich "nix", man dat is 'n leddigen Sack, wo nix binnen is.

Angaav van Koppels[ännern | Bornkood ännern]

Döör Optellen[ännern | Bornkood ännern]

Endlike Koppels låt sik (besünners, wan der nich veel Elemente binnen sünd) döör Optellen vun jümehr Elemente opskrieven.

Bispeel: . Bi dat Optellen vun de Elemente is dat goot, en "natürliche" Reeg vun de Elemente to bruken, t.B. de alphabetische Reeg. Dat kann een beter lesen. Man för de Koppel sülvst is de Reeg vun jümehr Elementen eendoont. Dat is dorbi nich begäng, Elementen mehr as eenmal optoschrieven. De Koppel warrt dör de Elemente defineert, de in ehr binnen sünd, un dat ännert nix an de Koppel, wenn en Element tweemal opschreven warrt oder wenn twee Elemente tuuscht warrt: .

Döör wöördlik Beskrieven[ännern | Bornkood ännern]

Dat is ok möglich, 'n Koppel mit Wöör to beschrieven, t.B.

wees de Koppel woneem de eersten veer positiven helen Tallen binnen sünd.
wees de Koppel van de dree Klören uut de franzööske Flagg.

Döör mathematische Notatschoon[ännern | Bornkood ännern]

Bi graute Koppels met veel Lidmaten is dat nich goot mööglik, denn Inholl van de Koppel kumplet optoskrieven. T.B. düert dat lang, uuttoskrieven un derto duurt dat ok lang, dat to lesen. Un so skrievt de Mathematikers dat denn ok nich ut, man se bruukt 'n Afkörten:

Dat hait, de List lett sik afkörten, wenn de Elementen to 'n Munster passt, dat de Leser ok glieks rutfinnen kann. De List warrt dann mit dat Symbol afkört. Man een mutt dann oppassen, so vele Elementen optoschrieven, dat dat Munster ok kloor is. Een Bispill:

Hier gifft dat twee Mööglichkeiten, dat to verstån. Dat kann de Koppel vun de eersten 16 natüürliken Tallen ween, mär ok de Koppel vun de eersten 5 Potenzen vun de 2, düs .

Dit System funktscheneert ok blots dann, wenn dat Munster licht ruttofinnen is, t.B. hett de Koppel

ok 'n System, man dat is nich glieks kloor, wat dat is:

För sükke Fälle hebbt de Mathematikers 'n spezielle Skrievwies:

In disse Skrievwies hait de Streek so dat oar woneem. Faak warrt der ok för brukt. De Mathematikers leest dat dann so:

is de Koppel vun Tallen mit de Form , woneem 'n natürlike Tall grötter 0, minner 19 is.

Dårmet gifft't de kumplette List vun de Lidmaten, wenn een in den Utdruck för alle (natürliken) Tallen vun 0 bet 19 insetten doot.

Schrievwiesen[ännern | Bornkood ännern]

Låt un Koppels ween un een Objekt (t.B. een Tall, een Vektor, oar een annere Koppel).

  • Een skrievt , as een Lidmat van is un as nich.
  • is een Deelkoppel van un een doot skrieven, as elk Lidmat van ok een Lidmat van is. Mathematisk uutdrückt is een Deelkoppel van as de Uutsäg gill.
  • Een nöömt un liek un skrievt , wan se desülvigen Lidmaten beinhollen. Düt is äquivalent to . Dat achtere is in de Praxis faken eenfakker to wiesen.
  • Is , mär , warrt een propper Deelkoppel van nöömt, wat een met noteern kann. (Waarschau: Een draf un nich döörnannerbrängen!)

Koppelkonstruktionen[ännern | Bornkood ännern]

Mengselkoppel
Snibkoppel
Koppel van'n Ünnerschaid : „A sünner B
Symmetrisken Ünnerschaid
Kumpelment in

Låt un Koppels ween.

Uutsünnern[ännern | Bornkood ännern]

Is een Eegenschop, so winnt een döör Uutsünner de Koppel

Mengsel[ännern | Bornkood ännern]

De Koppel van't Mengsel van un is geaven döör

Snib[ännern | Bornkood ännern]

De Snibkoppel van twee Koppels is defineert as

Ünnerschaid[ännern | Bornkood ännern]

De Ünnerschaid van twee Koppels is defineert as

Uutsproken warrt dat A sünner B.

Symmetrisken Ünnerschaid[ännern | Bornkood ännern]

De symmetrske Ünnerschaid van twee Koppels is defineert as

Kumelment[ännern | Bornkood ännern]

Faak is een Koppel een Deelkoppel van een Overkoppel . Wann uut denn Kontext klår is, in wekke Overkoppel leevt, is dat Kumpelment

de Koppel van alle Lidmaten van , wel nich in to finnen sint. För dat Kumpelment gifft dat de alternative Schrievwiese .

Kartees'sk Produkt[ännern | Bornkood ännern]

Sint und Objekten, so warrt dat arrangsjeert Paar van un met betekent. Et is düs akkråt dann, wann un . Dat kartees'ske Produkt van twee Koppels is defineert as de Koppel

Op desülve Maneer defineert een dat Tripel un gans allgemeen -Tupel för een belaivig . Skrieven warrt dat dann ok as

Is för alle , so skrievt een an Stiär van .

Potenskoppel[ännern | Bornkood ännern]

De Koppel van alle Deelkoppels van hait de Potenskoppel van . Se warrt met betekent.

Bispellen[ännern | Bornkood ännern]

  • betekent de lüerige Koppel
  • betekent de Koppel van de natürliken Tallen, de Koppel van de helen Tallen, de Koppel van de broaken Tallen, de Koppel van de reellen Tallen un de Koppel van de komplexen Tallen. Et is
  • Dat is wichtig, un nich döörnanner to bringen. So is t.B. nich lüerig (de beinhollt denn eenigen Lidmat ), un de Koppel häff mär een Lidmat (nöömlik ), tiedens sünnerennlik is.
  • un
  • un