Gröttste gemeensame Deler

Vun Wikipedia
Wesseln na: Navigatschoon, Söök

De gröttste gemeensame Deler is en wichtigen Begreep ut de Tallentheorie. För twee hele Tallen a un b, de nich beide liek to de 0 ween dörvt, gifft dat jümmers en gröttsten gemeensamen Deler. Dat is de gröttste natürliche Tall, de sowohl a as ok b deelt, ahn dat 'n Rest blifft.

De gröttste gemeensame Deler vun a un b warrt as \operatorname{ggD}(a,b) schreven. To'n Bispeel is \operatorname{ggD}(12,18)=6, \operatorname{ggD}(-4,14)=2 un \operatorname{ggD}(5,0)=0.

Twee Tallen warrt relativ prim nöömt, wenn jümehr gröttste gemeensame Deler de 1 is. To'n Bispeel sünd 9 un 28 relativ prim.

In de ingelsche Literatur warrt de ggD as gcd schreven (för greatest common divisor).

De gröttste gemeensame Deler helpt bi dat Bröökreken, üm den Bröök to körten:

{42\over56}={3\cdot14\over4\cdot14}={3\over4}

Hier hebbt wi de 14 körtt, dat is de gröttste gemeensame Deler vun 42 un 56.

Utreken vun den ggD[ännern | Bornkood ännern]

Utreken över de Primfaktoren[ännern | Bornkood ännern]

De ggD un ok dat lgV (dat lüttste gemeensame Veelfache) laat sik över de Primfaktoren vun a un b utreken. Een Bispeel:


\operatorname{a} = 3528  = 2^{\color{Red}3} \cdot 3^{\color{Red}2} \cdot 5^{\color{Red}0} \cdot 7^{\color{Red}2}
\operatorname{b} = 3780 = 2^{\color{OliveGreen}2} \cdot 3^{\color{OliveGreen}3} \cdot 5^{\color{OliveGreen}1} \cdot 7^{\color{OliveGreen}1}

För den \operatorname{ggD} nehmt wi de lüttsten Exponenten vun de Basen:

\operatorname{ggD}(3528,3780) = 2^{\color{OliveGreen}2} \cdot 3^{\color{Red}2} \cdot 5^{\color{Red}0} \cdot 7^{\color{OliveGreen}1} = 252

För dat \operatorname{lgV} nehmt wi de gröttsten Exponenten vun de Basen:

\operatorname{lgV}(3528,3780) = 2^{\color{Red}3} \cdot 3^{\color{OliveGreen}3} \cdot 5^{\color{OliveGreen}1} \cdot 7^{\color{Red}2} = 52.920

Utreken över den euklidschen Algorithmus[ännern | Bornkood ännern]

Dat Faktoriseren vun groten Tallen (dat is dat Rutfinnen vun jümehr Primfaktoren) is swoor. Denn is dat eenfacher, den \operatorname{ggD} mit den euklidschen Algorithmus uttoreken, de op den greekschen Mathematiker Euklid (300 v. Chr.) trüchgeiht.

de ggD vun mehr as twee Tallen[ännern | Bornkood ännern]

De \operatorname{ggD} lett sik ok vun mehr as twee helen Tallen utreken, wieldat de Operatschoon assoziativ is:

\operatorname{ggD}(a,\,\operatorname{ggD}(b,c)) = \operatorname{ggD}(\operatorname{ggD}(a,b),\,c) = \operatorname{ggD}(a,b,c)

Egenschoppen[ännern | Bornkood ännern]

För alle helen Tallen a, b gellt:

Wenn bavento m en natürliche Tall is, denn gellt:

Wenn m en gemeensame Deler vun a un b is, denn gellt:

  • \operatorname{ggD}(a/m,b/m) = \operatorname{ggD}(a,b)/m